题目内容
19．建大棚种蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，修建面积为多少时可以得到最大收益？
分析 （1）依题意可得收益扣除修建和种植成本后易得y与x的函数关系式．
（2）设当y=5时，根据实际求出x的值．
（3）设3年内的收益为Z．把z与x的函数关系式化为Z=-0.3x2+6.3x，进而得出即可．
解答 解：（1）由题意可得：
y=7.5x-（2.7x+0.9x2+0.3x）
=7.5x-2.7x-0.9x2-0.3x
=-0.9x2+4.5x；
（2）当-0.9x2+4.5x=5时，
即-9x2-45 x+50=0，
解得：x1=$\frac{5}{3}$，x2=$\frac{10}{3}$，
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建$\frac{5}{3}$公顷大棚；
（3）法一：设3年内每年的平均收益为Z（万元）
Z=7.5x-0.9x-0.3x2-0.3x=-0.3x2+6.3x，
当x=-$\frac{6.3}{2×（-0.3）}$=10.5（公顷）
∴当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．
（法二：设3年内总收益为Z（万元），
Z=3×7.5x-2.7x-0.9x2-3×0.3x=22.5 x-2.7x-0.9x2-0.9 x
=-0.9x2+18.9x
当x=-$\frac{18.9}{2×（-0.9）}$=10.5（公顷）
∴当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．
点评 此题主要考查了二次函数的应用以及求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
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