Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为弦，且∠ABC=30°，点P、Q分别是AB、BC上一点，且PQ+PC=5恒成立，则直径AB的最大值为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：过点C作AB的对称点D，连接DC、DB、DA、DQ，过点D作DH⊥BC于H，交AB于G，连接GC，根据对称性可得PD=PC，∠DBA=∠CBA=30°，从而有∠DBC=60°，由圆的对称性可得点D在⊙O上，则有∠BDA=90°，然后利用三角函数可得BA=

4

3

DH，根据点到直线之间垂线段最短可得DH≤DQ，根据两点之间线段最短可得DQ≤PD+PQ=PC+PQ=5，则有DH≤5．，从而可求出直径AB的最大值．

解答：解：过点C作AB的对称点D，连接DC、DB、DA、DQ，
过点D作DH⊥BC于H，交AB于G，连接GC，如图所示，
则有PD=PC，∠DBA=∠CBA=30°，
则有∠DBC=60°．
由圆的对称性可得点D在⊙O上，则有∠BDA=90°．
在Rt△ADB中，cos∠DBA=

BD

BA

=

3

2

．
在Rt△BHD中，sin∠DBH=

DH

BD

=

3

2

．
则有

DH

BA

=

BD

BA

•

DH

BD

=

3

2

•

3

2

=

3

4

，
所以BA=

4

3

DH．
根据点到直线之间垂线段最短可得DH≤DQ，
根据两点之间线段最短可得DQ≤PD+PQ=PC+PQ=5，
所以DH≤5．
∴BA=

4

3

DH≤

20

3

．
∴直径AB的最大值为

20

3

．
故答案为：

20

3

．

点评：本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、点到直线之间垂线段最短、两点之间线段最短等知识，证到BA=

4

3

DH及DH≤5是解决本题的关键．