Question

18．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，求证：4m²+5mn+n²=0；
（2）若点（p，q）在函数y=2x+2的图象上，说明关于x的方程（q-2p）x²+3x+1=0是倍根方程．

Answer 1

分析 （1）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正确；
（2）把（p，q）代入y=2x+2得q-2p=2，可得原方程为2x²+3x+1=0，解方程即可判断．

解答 解：（1））∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0；

（2）把（p，q）代入y=2x+2，得：q=2p+2，
则q-2p=2，
原方程为2x²+3x+1=0，
解得：x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-1，
∵x₂=2x₁，
∴它是倍根方程．

点评 本题考查了一元二次方程的解、一次函数函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．