Question

把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．
（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接写出结论；
（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）连接DE，先根据直角三角形的性质得出AM=

1

2

DF，再根据△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DE=DF．再根据点M，N分别为DF，EF的中点，得出MN是△EFD的中位线，故MN=

1

2

DE，MN∥DE，再根据平行线的性质及全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接DE，由直角三角形的性质得出MA=

1

2

DF=MD=MF，故∠1=∠3．再由点N是EF的中点，得出MN是△DEF的中位线，所以MN=

1

2

DE，MN∥DE．根据△BEF是等腰直角三角形可知BF=BF，∠EBF=90°．根据SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DF=DE，∠1=∠2，MA=MN，∠2=∠3．再根据∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5得出∠3+∠5=90°，由三角形内角和定理可知∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，故可得出结论．

解答：（1）解：连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，
∵点M是DF的中点，
∴AM=

1

2

DF．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴AF=CE，
在△ADF与△CDE中，

AB=CD ∠DAF=∠DCE AF=CE

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
∵点M，N分别为DF，EF的中点，
∴MN是△EFD的中位线，
∴MN=

1

2

DE，
∴AM=MN；
∵MN是△EFD的中位线，
∴MN∥DE，
∴∠FMN=∠FDE．
∵AM=MD，
∴∠MAD=∠ADM，
∵∠AMF是△ADM的中位线，
∴∠AMF=2∠ADM．
∵△ADF≌△CDE，
∴∠ADM=∠DEC，
∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，
∴MA⊥MN．
∴MA=MN，MA⊥MN．

（2）成立．
理由：连接DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．
在Rt△ADF中，
∵点M是DF的中点，
∴MA=

1

2

DF=MD=MF，
∴∠1=∠3．
∵点N是EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
∴MN=

1

2

DE，MN∥DE．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BF，∠EBF=90°．
∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．
在△ADF与△CDE中，
∵

AD=CD ∠DAF=∠DCE AF=DE

∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
∴MA=MN，∠2=∠3．
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，
∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，难度较大．