Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE使∠BAD=∠CAE（E在AC右侧），连结BD，CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AD=2，求点D绕点A旋转到点E所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE=90°，再根据旋转的性质，由线段AD绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE得到AD=AE，加上AB=AC，则根据旋转的定义可将△ABD绕点A逆时针旋转90度得到△ACE，于是根据旋转的性质可得BD=CE；
（2）点D绕点A旋转到点E所经过的路径为以A点为圆心，AD为半径，圆心角为90的弧，然后根据弧长公式计算即可．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE=90°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE，
∴AD=AE，
而AB=AC，
∴△ABD绕点A逆时针旋转90度可得到△ACE，
∴BD=CE；
（2）解：点D经过的路径长=$\frac{90•π•2}{180}$=π．
所以点D绕点A旋转到点E所经过的路径长为π．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．