Question

2．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．
（1）当BE平行CF时，证△BEH≌△CFH
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠BEH=∠CFH时，由AAS证明△BEH≌△CFH即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CF，EH=FH，得出四边形BFCE是平行四边形，再证出BC=EF，即可得出四边形BFCE是矩形．

解答 （1）证明：∵点H是BC的中点，
∴BH=CH，
∵BE∥CF，
∴∠BEH=∠CFH，
在△BEH和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEH=∠CFH}&{\;}\\{∠CHE=∠CHF}&{\;}\\{BH=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△CFH（HAS）；
（2）解：当BH=EH时，四边形BFCE是矩形；理由如下：
连接BF、CE，如图所示：
∵△BEH≌△CFH，
∴BE=CF，EH=FH，
∵BE∥CF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BH=CH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．