Question

6．如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由
（2）在（1）的条件下，当∠A=45°时四边形BECD是正方形．

Answer 1

分析 （1）先证明AC∥DE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD=BD，得出四边形BECD是菱形；
（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．

解答 解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠DBE，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45°．

点评 本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．