探究问题:(1)方法感悟:如图①.在正方形ABCD中.点E.F分别为DC.BC边上的点.且满足∠EAF=45°.连接EF.求证:DE+BF=EF．感悟解题方法.并完成下列填空:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.此时AB与AD重合.由旋转可得:AB=AD.BG=DE.∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°.∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.因此.点G.B.F在同一条直线上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

分析（1）作辅助线，构建全等三角形，证明点G，B，F在同一条直线上，再证明△GAF≌△EAF，可得结论；
（2）同理作辅助线，如图②，将△ADE绕A顺时针旋转∠BAD的度数，此时，AD与AB重合，证明△GAF≌△EAF，同理可以得出EF=BG+BF=DE+BF；
（3）当∠B与∠D满足∠D+∠B=180°时，可使得DE+BF=EF，理由是将△ADE绕A顺时针旋转∠BAD的度数，同理证明△GAF≌△EAF，得EF=BG+BF=DE+BF．

解答解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
故答案：FAE，△EAF，GF；
（2）如图②，DE+BF=EF，理由是：
将△ADE绕A顺时针旋转∠BAD的度数，此时，AD与AB重合，
由旋转得：BG=DE，∠1=∠2，AE=AG，
∠ABG=∠D=90°，
同理得：点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠GAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴EF=BG+BF=DE+BF；
（3）当∠B与∠D满足∠D+∠B=180°时，可使得DE+BF=EF，理由是：
将△ADE绕A顺时针旋转∠BAD的度数，此时，AD与AB重合，
由旋转得：BG=DE，∠GAB=∠DAE，AE=AG，
∠ABG=∠D，
∵∠D+∠ABC=180°
∴∠ABC+∠ABG=180°
∴点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠GAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴EF=BG+BF=DE+BF；