题目内容

4．如图，△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AB，AC边分别为点D，点E，连接BE，若AB=10，BC=6，则△ACE的周长是14．

分析 根据勾股定理得到AC=8，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=BC=8，
∴△ACE的周长=AE+CE+AC=BC+AC=14．
故答案为：14．

点评 该题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；勾股定理，应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．

练习册系列答案
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14．设$\sqrt{2}$=m，$\sqrt{3}$=n，则$\sqrt{150}$=5mn（结果用m，n表示）．
15．探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
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14．已知，如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连结AF，M时AF的中点，连结MB，且点C，B，E在同一直线上．求证：BM∥CF．

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