题目内容
16．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．（1）问①△AGC∽△HGA吗？答：相似；②△AGC∽△HAB吗？为什么？
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图2的情况说明理由）；
（3）在整个运动过程中，当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
分析 （1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论，由∠AGB是△AGC和△AGH的外角，于是得到∠GAC=∠H，∠ACB=∠GAH=45°，于是得到结论；
（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可求解；
（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，当CG=$\frac{1}{2}$BC时，当CG＞$\frac{1}{2}$BC时分别得出即可．
解答 解：（1）①相似，
理由：∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
②△AGC∽△HAB，
理由：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，
∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HGA；
（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=$\frac{81}{x}$，
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{9}^{2}}$=9$\sqrt{2}$．
∴y关于x的函数关系式为y=$\frac{81}{x}$（0＜x≤9$\sqrt{2}$）；
（3）①当CG＜$\frac{1}{2}$BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形，
②当CG=$\frac{1}{2}$BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，
此时，GC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
③当CG＞$\frac{1}{2}$BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，则AC=CG，此时x=9，
如图3，当CG=BC时，
注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，
此时B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH为等腰三角形，所以CG=9$\sqrt{2}$．
综上所述，当x=9或x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$时，△AGH是等腰三角形．
点评 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．
| A． | $\frac{8}{5}$ | B． | $\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{5}{8}$ |