Question

15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AE，分△ABE∽△MDN和△ABE∽△NDM两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：∵E为BC中点，
∴BE=1，
由勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当△ABE∽△MDN时，$\frac{AB}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$，即$\frac{2}{DM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得，DM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
同理，当△ABE∽△NDM时，DM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DM为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、正方形的性质，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．