Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边BC上，以A为圆心，AD长为半径画圆弧，交边BC的另一点E，交边AC于F，连接AE，EF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠ADB=3∠CEF，请判断EF与AB有怎样的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△ACD；
（2）根据已知条件得到∠AEF=2CEF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE=∠AEF=2∠CEF，等量代换得到∠CEF=∠C，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，于是得到结论；

解答 证明：（1）由题意可知AD=AE=AF，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC}\\{∠B=∠C}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD；
（2）∵∠ADB=∠AEC，∠ADB=3∠CEF，
∴∠AEF=2∠CEF，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=2∠CEF，
∴∠CEF=∠C，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
∴∠CEF=∠B，
∴EF∥AB．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判断和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．