题目内容
13．
如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为1cm/秒，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当四边形EGFH为矩形时，请直接写出运动时间t的值．
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，以与E，F相同的速度分别从A、C和点E、F同时出发，当t=$\frac{31}{8}$秒时，四边形EGFH为菱形．
分析 （1）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值；
（3）首先，当四边形EGFH为菱形时，其对角线互相垂直且互相平分，在根据这一特点构造直角三角形，利用勾股定理求得t的值．
解答 解：（1）
如图1，连接GH交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，CH=$\frac{1}{2}$CD，
∴AG=CH，
∴OG=OH，OA=OC，
由题意得，AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形EGFH始终是平行四边形；
（2）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴GH=BC=4，
当四边形EGFH为矩形时，GH=EF，
①AE=$\frac{1}{2}$（AC-EF）=$\frac{1}{2}$，
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4
解得：t=$\frac{9}{2}$，
∴当四边形EGFH为矩形时，运动时间t的值为$\frac{1}{2}$秒或$\frac{9}{2}$秒；
（3）当四边形EGFH为菱形时，GH⊥EF，
∴点G、H分别在BC、AD上，
∵∠ABC=∠GOC=90°，∠ACB=∠GCO，
∴△COG∽△CBA，
∴$\frac{OG}{AB}$=$\frac{CG}{AC}$，即$\frac{OG}{3}$=$\frac{7-t}{5}$，
解得，OG=$\frac{21-3t}{5}$，
在Rt△ABG中，AG2=32+（t-3）2，
在Rt△AOG中，AG2=OG2+AO2，即32+（t-3）2=（$\frac{21-3t}{5}$）2+$\frac{25}{4}$，
解得，t=$\frac{31}{8}$，
故答案为：$\frac{31}{8}$．
点评 本题考查了特殊四边形的判定、性质及综合应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质、判定，具有应用代数的方法解决几何问题的意识．
名校课堂系列答案| A． | y=3x-1 | B． | y=-2x | C． | y=$\frac{1}{x}$ | D． | y=x2 |
| A． | 要了解一批等灯泡的使用寿命 | |
| B． | 要了解栾城电视台“栾城新闻”的收视率 | |
| C． | 要了解某校篮球队12名队员的身高状况 | |
| D． | 要了解全国人民对“春节连欢晚会”的满意度 |
| A． | ab＞0 | B． | a-b＞0 | C． | a+b＞0 | D． | a2+b＞0 |
如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m，折断点离旗杆底部的高度为3m，则旗杆的高度为8m．
如图，点D在BC上，DE∥AB，交AC于点E，F是AB上的一个点．| A． | $\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$ | C． | （$\sqrt{5}$+1）2=6 | D． | （$\sqrt{3}$+2）（$\sqrt{3}$-2）=-1 |