Question

4．如图，一块矩形场地ABCD，现测得边长AB与AD之比为$\sqrt{2}$：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF．现计划在四边形DEBF区域内种植花草．
（1）求证：AE=EF=CF．
（2）求四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比．

Answer 1

分析 （1）根据题意可设AD=x，则AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{3}$x，利用△ADC的面积为定值可求DE的长，再根据勾股定理可求出AE，EF，CF的长，即可证明AE=EF=CF．
（2）由（1）中的数据分别计算出四边形DEBF与矩形ABCD的面积，再作比值即可．

解答 （1）证明：
矩形ABCD中，∠ADC=90°，设AD=x，则AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{3}$x，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE=$\frac{x•\sqrt{2}x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
在△ADE中，AE=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，同理CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AE=CF=EF；
（2）解：
S_{四边形DEBF}=EF×DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•$\frac{\sqrt{6}}{3}$x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x²，
而S_矩形ABCD=x×$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$x²，
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用以及四边形面积公式和矩形面积公式的运用，题目的综合性较强，计算量较大，是一道不错的中考题．