Question

16．如图：已知抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=$\frac{1}{2}$x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=$\frac{1}{2}$x-2与y轴交点，连接AC，
（1）求抛物线解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．

Answer 1

分析 （1）由直线y=$\frac{1}{2}$x-2交x轴、y轴于点B、C两点可求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值；
（2）先求得点A和点B的坐标，然后依据勾股定理可求得AC和BC的长，最后依据勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形；
（3）设出点P与点D的坐标，可求得PD的长（用含a的式子表示），依据二次函数的性质可知当a=2时，PD的最大值为2，由三角形的面积公式可知DP有最大值时，△BCD的面积最大，由于△ABC的面积为定值，故此时四边形ACPB的面积最大．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x-2交x轴、y轴于点B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c经过点B，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-6+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）∵令$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得：x₁=-1，x₂=4，
∴OA=1，OB=4．
∴AB=5．
∴AC²=OA²+0C²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=25．
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC为直角三角形．
（3）如图1所示：连接CD、BD，过点P作PE⊥AB，垂足为E，直线EP交线段BC与点D．

设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B（4，0），C（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}x-2$．
设点D（a，$\frac{1}{2}a-2$），则点P（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．
∵PD=PE-DE=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2+（$\frac{1}{2}a$-2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，
∴当a=2时，PD有最大值，PD的最大值=2．
∵四边形ACPB的面积=S_△ACB+S_△CBP=$\frac{1}{2}AB•OC$+$\frac{1}{2}OB•DP$=$\frac{1}{2}$×5×2+$\frac{1}{2}$×4×DP=5+2PD．
∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．
∴当P的坐标为（2，-3）时，四边形ACPB的面积的最大值=5+2×2=9．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式、二次函数的图象和性质，列出四边形PD与a的函数关系式是解题的关键．