Question

7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：
①AD⊥EF；
②OA=OD；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形．
④AE²+DF²=AF²+DE²；
其中正确的是①③④．

Answer 1

分析 由AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，根据角平分线的性质，可得DE=DF，继而证得AE=AF，则可得AD是EF的垂直平分线；判定AD⊥EF；OA不一定等于OD；又由当∠A=90°时，可得四边形AEDF矩形，继而证得四边形AEDF是正方形；由AE=AF，DE=DF，即可判定AE²+DF²=AF²+DE²．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
∵∠ADE=90°-∠DAE，∠ADF=90°-∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，点D在EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线，
即AD⊥EF；故①正确；
∵AD是EF的垂直平分线，
∴OE=OF，OA不一定等于OD；故②错误；
∵∠AED=∠EFD=90°，
∴当∠A=90°时，四边形AEDF是矩形，
∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形；故③正确；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，∴④正确．
故答案为：①③④．

点评 此题是四边形综合题，考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定以及勾股定理等知识．注意证得AD是EF的垂直平分线是关键．