Question

【题目】问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；

（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；

（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．

Answer 1

【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．

【解析】

（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；

（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；

（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.

（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，

∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；

（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；

证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，

∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，

∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，

∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，

又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，

∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，

∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．

（3）判断：（2）中的结论不成立．

证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，

∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，

∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，

又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，

∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°

或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．