Question

1．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（1）（2）（3）．
（1）EF=$\sqrt{2}$OE；（2）S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：4；（3）BE+BF=$\sqrt{2}$OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；
（2）由（1）易证得S_{四边形OEBF}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，则可证得结论；
（3）由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=$\sqrt{2}$OA；
（4）首先设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF=$\sqrt{2}$OE；故正确；

（2）∵S_{四边形OEBF}=S_△BOE+S_△BOE=S_△BOE+S_△COF=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∴S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：4；故正确；

（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=$\sqrt{2}$OA；故正确；

（4）过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，
∴S_△BEF+S_△COF=$\frac{1}{2}$BE•BF+$\frac{1}{2}$CF•OH=$\frac{1}{2}$x（1-x）+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{32}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，S_△BEF+S_△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=$\frac{1}{4}$；故错误；
故答案为（1）（2）（3）．

点评 本题考查四边形的综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．