Question

如图1，⊙O的直径CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一个动点．
（1）记△APB的面积为S，求S的取值范围；
（2）在图2中，∠APB的大小是不断变化的，用语言描述当∠APB最大和最小时P点的位置（也可以附带作出大致的图形，在图形上标出P点的大致位置，不必说明理由）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AO交⊙O于P₁，P₂，作AE⊥BC于E，如图1，由OD=AD=2，AD⊥DC可判断△OAD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得OA=2

2

，∠OAD=45°，再证明四边形ADCE为矩形，得到AE=CD=4，CE=AD=2，则BE=BC-CE=4，又可判断△ABE为等腰直角三角形，所以AB=

2

BE=4

2

，∠BAE=45°，由于∠DAE=90°，则∠OAE=45°，于是得到∠OAB=∠BAE+∠OAE=90°，即OA⊥AB，根据与圆有关的性质得到P₁点到AB的距离最小，则根据三角形面积公式得到S最小，可计算S的最小值为8-4

2

；P₂点到AB的距离最大，S最大，可计算S的最大值为8+4

2

；∴S的取值范围为8-4

2

≤S≤8+4

2

；
（2）过A、B两点⊙M与⊙O外切于P点时，∠APB最大，因为除切点外，∠APB为⊙M的圆外角；过A、B两点的⊙N与⊙O内切于P点时，∠APB最小，因为除切点外，∠APB为⊙N的圆内角．

解答：解：（1）连接AO交⊙O于P₁，P₂，作AE⊥BC于E，如图1，
∵OD=AD=2，AD⊥DC，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OA=

2

OD=2

2

，∠OAD=45°，
∵BC⊥CD，AE⊥BC，
∴四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD=4，CE=AD=2，BE=BC-CE=6-2=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=

2

BE=4

2

，∠BAE=45°，
而∠DAE=90°，
∴∠OAE=45°，
∴∠OAB=∠BAE+∠OAE=90°，
∴OA⊥AB，
∴P₁点到AB的距离最小，S最小，AP₁=OA-OP₁=2

2

-2，则S的最小值=

1

2

×4

2

×（2

2

-2）=8-4

2

；
P₂点到AB的距离最大，S最大，AP₂=OA+OP₂=2

2

+2，则S的最大值=

1

2

×4

2

×（2

2

+2）=8+4

2

；
∴S的取值范围为8-4

2

≤S≤8+4

2

；

（2）过A、B两点⊙M与⊙O外切于P点时，∠APB最大；过A、B两点的⊙N与⊙O内切于P点时，∠APB最小，如图2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握与圆有关的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．