题目内容

19．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（-1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

分析 （1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）设点D坐标为（-1，yD），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于yD含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（-1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．
令y=-x2-2x+3=0，解得：x=-3或x=1，
故A（-3，0），B（1，0），
∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．
设AC交对称轴x=-1于F（-1，yF），
由点A（-3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，
∴yF=-1+3=2，即F（-1，2）．
设点D坐标为（-1，yD），
则S△ADC=$\frac{1}{2}$DF•AO=$\frac{1}{2}$×|yD-2|×3．
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[1-（-3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×|yD-2|×3．=6，解得：yD=-2或yD=6．
∴点D的坐标为（-1，-2）或（-1，6）．
（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．
在△EON和△CP′N中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNP′=∠ENO}\\{∠CP′N=∠EON=90°}\\{P′C=PC=OE}\end{array}\right.$，
∴△EON≌△CP′N（AAS）．
设NC=m，则NE=m，
∵A（-3，0）、M（-1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，
∴当y=3时，x=-$\frac{3}{2}$，即点P（-$\frac{3}{2}$，3）．
∴P′C=PC=$\frac{3}{2}$，P′N=3-m，
在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：$（\frac{3}{2}）^{2}$+（3-m）2=m2，
解得：m=$\frac{15}{8}$．
∵S△P′NC=$\frac{1}{2}$CN•P′H=$\frac{1}{2}$P′N•P′C，
∴P′H=$\frac{9}{10}$．
由△CHP′∽△CP′N可得：$\frac{CH}{CP′}=\frac{CP′}{CN}$，
∴CH=$\frac{CP{′}^{2}}{CN}$=$\frac{6}{5}$，
∴OH=3-$\frac{6}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴P′的坐标为（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）．
将点P′（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）代入抛物线解析式，
得：y=-$（\frac{9}{10}）^{2}$-2×$\frac{9}{10}$+3=$\frac{39}{100}$≠$\frac{9}{5}$，
∴点P′不在该抛物线上．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于yD含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出点P′坐标．本题属于中档题，难度不小，（3）中求出点P′的坐标是本题的难点，使用垂直平分线的性质找点的坐标亦可．

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