Question

17．小明在解决问题：已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求2a²-8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=
2-$\sqrt{3}$，
∴a-2=-$\sqrt{3}$，
∴（a-2）²=3，a²-4a+4=3
∴a²-4a=1，
∴a²-8a+1=2（a²-4a）+1=2×（-1）+1=-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{119}}$
（2）若a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，①求4a²-8a+1的值；
②直接写出代数式的值a³-3a²+a+1=0； 2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2=2．

Answer 1

分析 （1）将原式分母有理化即可；
（2）将a分母有理化，化简为$\sqrt{2}+1$，代入①，②进行运算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}-1$+$\sqrt{5}$$-\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$$-\sqrt{5}$+…+$\sqrt{121}$$-\sqrt{119}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{121}$-1）
=$\frac{1}{2}×$10
=5；

（2）①∵a=$\sqrt{2}+1$，
∴4a²-8a+1
=4×${（\sqrt{2}+1）}^{2}$-8×（$\sqrt{2}+$1）+1
=5；

②a³-3a²+a+1
=${（\sqrt{2}+1）}^{3}$-3${（\sqrt{2}+1）}^{2}$+（$\sqrt{2}+1$）+1
=7+5$\sqrt{2}$-（9$+6\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$+1+1
=0；
2a²-5a+$\frac{1}{a}$+2
=2×${（\sqrt{2}+1）}^{2}$$-5（\sqrt{2}+1）$+$\sqrt{2}-1$+2
=2；
故答案为：0，2．

点评 本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．