Question

7．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC的延长线于点E、F，且AE=CF，连接DE、BF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．
①当AE与AB的数量关系为AE=AB时，四边形BEDF是矩形；
②当AE与AB的数量关系为3AE=AB时，四边形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质，得出AO=CO，进而得出∠EAO=∠FCO，结合全等三角形的判定方法得出答案；
（2）①利用矩形的判定方法，得出BD=EF，即可得出答案；
②利用菱形的判定方法，结合勾股定理的逆定理，得出∠BOE=90°，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BA∥DC，BO=DO，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠EAO=∠FCO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）解：①当AB=AE时，四边形BEDF是矩形；
理由：∵△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
又∵BO=DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB⊥AC，AB=AE，
∴BO=EO，
∴BD=EF，
∴平行四边形BEDF是矩形；
故答案为：AB=AE；

②当AE与AB的数量关系为 3AE=AB时，四边形BEDF是菱形，
理由：∵∠ABD=30°，AB⊥AC，
∴设AO=x，则AB=$\sqrt{3}$x，BO=2x，
∵3AE=AB，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由AO=x，
故EO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∵（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）²+（2x）²=（$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²，
∴△BOE是直角三角形，即∠BOE=90°，
∴平行四边形BEDF是菱形．
故答案为：AB=3AE．

点评 此题主要考查了四边形综合以及矩形、菱形的判定和勾股定理的逆定理等知识，熟练应用矩形与菱形的判定方法是解题关键．