Question

2．如图所示，已知M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于点A、B，抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c过A、B两点且与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）已知点Q（8，m）为抛物线上一点，点P为抛物线对称轴上一动点，求出P点坐标使得PQ+PB值最小，并求出最小值；
（3）过C点作⊙M的切线CE，求直线OE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；
（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，得到m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．

解答 解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点A和B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{2}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$
则抛物线的解析式为
y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
故C（0，2）．
（2）如图，

抛物线对称轴l是x=4．
∵Q（8，m）在抛物线上，
∴m=2．
过点Q作QK⊥x轴于点K，
则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=$\sqrt{A{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2$\sqrt{10}$．

（3）如图，

①连接EM和CM
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
∴△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线CM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
∴OE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x．
②如图，

连接ME'，
∴ME'⊥CE'
由（1）知，ME=OC=2，
∴CE'∥x轴，
∵C（0，2），M（4，0），
∴E'（4，2），
∴直线OE'的解析式为y=$\frac{1}{2}$x

点评 此题考查了二次函数与一次函数以及圆的综合知识，要注意待定系数法求解析式以及数形结合思想的应用．