Question

19．如图，在矩形ABCD中的AB边长为6，BC边长为9，E为BC上一点，且CE=2BE，将△ABE翻折得到△AFE，延长EF交AD边于点M，则线段DM的长度为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 过M作MN⊥BC于N，根据矩形的性质得到MN=CD=AB=6，设DM=x，于是得到CN=DM=x，AM=9-x，根据折叠的性质得到AF=AB=MN，∠AFE=∠B=∠AFM=∠MNE=90°，根据全等三角形的性质得到AF=EM=9-x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：过M作MN⊥BC于N，
则四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=AB=6，
设DM=x，
∴CN=DM=x，AM=9-x，
∵CE=2BE，
∴BE=3，CE=6，
∴EN=6-x，
∵将△ABE翻折得到△AFE，
∴AF=AB=MN，∠AFE=∠B=∠AFM=∠MNE=90°，
∵∠AMF+∠EMN=∠EMN+∠MEN=90°，
∴∠AMF=∠MEN，
在△AMF与△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠MNE}\\{∠AMF=∠MEN}\\{AF=MN}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△MNE，
∴AM=EM=9-x，
∵EM²=EN²+MN²，
∴（9-x）²=（6-x）²+6²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴DM=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．