Question

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）已知抛物线y=2x²+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；
（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为$\frac{27}{20}$时，求tan∠APE的值；
（3）将抛物线y=2x²+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．

Answer 1

分析 （1）先在RT△CDO中求出CO，设BE=DE=x，在RT△ADE中利用勾股定理求出x，即可得到B、D两点坐标代入抛物线解析式即可．
（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．，先求出PM，再利用$\frac{PM}{BC}$=$\frac{EM}{EB}$，求出EM，PE，由△PME∽△ANE得$\frac{AE}{PE}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{AN}{PM}$，求出EN、AN即可解决问题．
（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x²+bx+4，因为△CMQ是等边三角形，所以点Q只能是顶点，顶点Q（-$\frac{b}{4}$，$\frac{32-{b}^{2}}{8}$），根据HQ=$\sqrt{3}$CH，列出方程即可解决问题．

解答 解（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AO=5，CO=AB，∠CBA=∠BAO=∠BCO=90°，
∵△CED是由△CEB翻折，
∴CD=AB=5，DE=BE，
在RT△CDO中，∵OD=3，CD=5，
∴CO=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=4，设BE=ED=x，
在RT△AED中，∵DE²=AE²+AD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∵x=$\frac{5}{2}$，
∴点B（5，4），把D（3，0），B（5，4）代入y=2x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{18+3b+c=0}\\{50+5b+c=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-14}\\{c=24}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为y=2x²-14x+24．
（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．
由（1）可知AE=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{5}{2}$
∴$\frac{1}{2}$×AE×PM=$\frac{27}{20}$，
∴PM=$\frac{9}{5}$，
∵PM∥BC，
∴$\frac{PM}{BC}$=$\frac{EM}{EB}$，
∴$\frac{\frac{9}{5}}{5}=\frac{EM}{\frac{5}{2}}$，
∴EM=$\frac{9}{10}$，
∴PE=$\sqrt{P{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\frac{9}{10}\sqrt{5}$，
∵∠PME=∠ANE，∠PEM=∠AEN，
∴△PME∽△ANE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{AN}{PM}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{10}\sqrt{5}}$=$\frac{EN}{\frac{9}{10}}$=$\frac{AN}{\frac{9}{5}}$，
∴EN=$\frac{3}{10}$$\sqrt{5}$，AN=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，PN=PE+EN=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴tan∠APE=$\frac{AN}{PN}$=$\frac{1}{2}$．
（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x²+bx+4，
∵△CMQ是等边三角形，
∴点Q只能是顶点，顶点Q（-$\frac{b}{4}$，$\frac{32-{b}^{2}}{8}$），
∴HQ=$\sqrt{3}$CH，
∴$\sqrt{3}$•|（-$\frac{b}{4}$）|=4-$\frac{32-{b}^{2}}{8}$，
∴b=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴满足条件的点Q为：Q₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂ （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），
此时抛物线为y=2x²$±\frac{\sqrt{3}}{2}$x+4，
∵点P坐标（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
显然点P不在其抛物线上．

点评 本题考查二次函数性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形或相似三角形，第三个问题记住抛物线平移a相同，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．