Question

20．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF=AF，过点A作AE⊥FC于点E．
（1）求证：AD=AE．
（2）连结CA，若∠DCA=70°，求∠CAE的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出∠FCA=∠DCA，由AAS证明△ADC≌△CAE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAD，求出∠CAD=90°-∠DCA=20°，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接AC，如图所示：
∵CF=AF，∴∠FCA=∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB∴，∠DCA=∠CAF，
∴∠FCA=∠DCA，
∵AE⊥FC，
∴∠CEA=90°，
∴∠CDA=∠CEA=90°，
在△ADC和△CAE 中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEA}&{\;}\\{∠DCA=∠FCA}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CAE （AAS），
∴AD=AE；
（2）解：∵△ADC≌△CAE，
∴∠CAE=∠CAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠CAD=90°-∠DCA=90°-70°=20°，
∴∠CAE=20°．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．