Question

18．已知，如图，PA是⊙O切线，切点为A，PB交⊙O于C且过圆心O，D是OB中点，连结AB并延长交⊙O于E，若∠APB=30°，AP=$\sqrt{6}$，求AE的长．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BC于H，连接AO，利用三角函数求得AH=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由于PA是⊙O切线，得到AO⊥PA，解直角三角形的AO=$\sqrt{2}$，根据同圆的半径相等得到OD=OB=$\sqrt{2}$，由于D是OB中点，得到OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在R_tAHO中，OH=$\sqrt{A{O}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在R_tAHD中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，根据相交弦定理得到比例式AD•DE=CD•DB，于是求得结论．

解答 解：如图，过A作AH⊥BC于H，连接AO，
∵∠APB=30°，AP=$\sqrt{6}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$，AP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵PA是⊙O切线，
∴AO⊥PA，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴OD=OB=$\sqrt{2}$，
∵D是OB中点，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在R_tAHO中，OH=$\sqrt{A{O}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在R_tAHD中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∵AD•DE=CD•DB，
∴DE=$\frac{3\sqrt{14}}{14}$，
∴AE=AD+DE=$\frac{5\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，相交弦定理，过A作AH⊥BC，构造直角三角形是解题的关键．