Question

9．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于N，交AB于F，连接EN、BM，有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③BM=BC；④S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确的结论有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE相似，即可得出结果．
②本题需先根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④本题需先连接CF，再设S_△ANF=1，即可得出S_△ADN与S_{四边形CNFB}的比值即可．
⑤在△DEN和△MFB中，根据已知条件，得出△DEN与△MFB全等，即可得出结果．

解答 解：①在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠DCE}\\{∠DAF=∠EDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE，
故本选项正确；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠NAF=∠NAE}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故本选项错误；

③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{CN}{AN}$=$\frac{CD}{AF}$=2，
∴CN=2AN，
故本选项正确；

④连接CF，
设S_△ANF=1，
则S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四边形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故本选项正确；

⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，
根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
在△DAF与△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠G}\\{∠DAB=∠GBF=90°}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选：B．

点评 本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键．