Question

4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论：①$\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$；②$\frac{AE}{EB}=\frac{ED}{BC}$；③△EDG∽△CGB；④$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$．其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：BD=1：3，进而得出ED∥BC，得出△AED∽△ABC，△EDG∽△CGB，根据相似三角形的性质得出$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$，$\frac{{S}_{ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{ED}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，进而根据S_△DEG=$\frac{1}{3}$S_△BDE=$\frac{1}{12}$S_△ABC，即可求得S_{四边形AEGD}=S_△AED+S_△DGE=$\frac{1}{4}$S_△ABC+$\frac{1}{12}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，即可求得$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，即可得出答案．

解答 解：∵点G是△ABC的重心，
∴D是AC的中点，E是AB的中点，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$，故②错误；
∵DE∥BC，
∴∠DEG=∠BCG，∠EDG=∠CBG，
∴△EDG∽△CGB，
∴$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，故①③正确；
∵点G是△ABC的重心，
∴DG：BD=1：3，
∵AD=DC，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{ED}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△DEG=$\frac{1}{3}$S_△BDE=$\frac{1}{12}$S_△ABC，
∴S_{四边形AEGD}=S_△AED+S_△DGE=$\frac{1}{4}$S_△ABC+$\frac{1}{12}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{四边形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，故④正确；
故正确的有①③④，
故选C．

点评 本题综合考查了三角形中位线的性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，解答时，需要学生具有综合运用知识的能力．