Question

19．如图，直线y=x+b和双曲线$y=\frac{k}{x}$相交于点A、B，且点A坐标为（2，1）
（1）b=-1，k=2，
（2）P为x轴上一点，若以A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，则点P的坐标为（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 （1）直接把A点坐标分别代入y=x+b和$y=\frac{k}{x}$中，即可求出b和k的值；
（2）联立方程求得B的坐标，设P点坐标为（t，0），根据两点间的距离公式求得PA²=1²+（t-2）²，PB²=2²+（t+1）²，AB²=3²+3²=18，然后分类讨论：①∠APB=90°时，②∠PAB=90°时，③∠PBA=90°时，根据勾股定理得关于t的方程，再分别解方程求出t的值，最后写出P点坐标．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=x+b得1=2+b，解得b=-1；
把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=2×1=2；
故答案为-1，2；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（2，1），B（-1，-2），
设P点坐标为（t，0），
∴PA²=1²+（t-2）²，PB²=2²+（t+1）²，AB²=3²+3²=18，
当∠APB=90°时，则PA²+PB²=AB²，即1²+（t-2）²+2²+（t+1）²=18，解得t=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，此时P点坐标为（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）；
当∠PAB=90°时，则PA²+AB²=PB²，即1²+（t-2）²+18=2²+（t+1）²，解得t=3，此时P点坐标为（3，0）；
当∠PBA=90°时，则PB²+AB²=PA²，即2²+（t+1）²+18=1²+（t-2）²，解得t=-3，此时P点坐标为（-3，0）；
综上所述，P点坐标为（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）；
故答案为（3，0）、（-3，0）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，0）、（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，0）．

点评 考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想．