如图1．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴分别交于A.B两点.与y轴交于点C.A点坐标为．直线l过B.C两点．点P是线段BC上的一个动点．在点P运动过程中.始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动.该直线与抛物线的交点为M.与x轴的交点为N．(1)①求出抛物线的函数表达式,②直接写出直线l的函数表达式,(2)若直线MN把△OBC的面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（-2，0），B的坐标为（4，0）．直线l过B，C两点．点P是线段BC上的一个动点（点P不与B，C两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N．
（1）①求出抛物线的函数表达式；②直接写出直线l的函数表达式；
（2）若直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，求出此时点P的坐标．
（3）如图2，①连接BM，CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当△MBC的面积最大时，直线MN上另有一动点E，在坐标平面内是否存在点F，使以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）用待定系数法列方程求抛物线和直线解析式即可；
（2）运用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程求解，分两种情况讨论；
（3）①列出S与x的函数关系式，求函数的最大值即可；
②根据菱形的性质和判定分类讨论，列方程求解即可．

解答解：（1）①∵A点坐标为（-2，0），B的坐标为（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-2b+c=0}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$
解得：b=1，c=4
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
②y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4与y轴的交点C的坐标是（0，4），B的坐标为（4，0）
∴直线BC的解析式为：y=-x+4；
（2）∵直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，MN∥y轴，
∴△BOC∽△BNP
∴$\frac{S△BNP}{S△BOC}=\frac{1}{4}$或$\frac{S△BNP}{S△BOC}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PN}{OC}=\frac{1}{2}或\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵0C=4，
∴PN=2或2$\sqrt{3}$
把y=2或2$\sqrt{3}$，代入y=-x+4得：x=2或4-2$\sqrt{3}$，
∴P（2，2）或P（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
（3）①如图1所示，根据题意，OC=4，ON=x，BN=4-x，MN=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
∴S=S_梯形ONMC+S_△BMN-S_△BOC
=$\frac{1}{2}（4-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4）•x$+$\frac{1}{2}$×（4-x）×（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S有最大值为4；
②当x=2时，P（2，2），又A（-2，0），
∴AN=4，PN=2，
∴AP=$\sqrt{A{N}^{2}+P{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形时，有以下4种情况：
如图2所示，AF∥PE，AF=PE=AP=2$\sqrt{5}$，
∴F（-2，2$\sqrt{5}$）或F（-2，-2$\sqrt{5}$）；
如图3所示，四边形AEFP是菱形，根据菱形的轴对称性，FN=4，
OF=ON+FN=2+4=6，
∴F（6，0）；
如图4所示，EF垂直平分AP，AF=PE=AE，AF∥PE，
设NE=m，则PE=2+m，AE²=AN²+NE²=4²+m²
∴（2+m）²=4²+m²
解得：m=3，
∴AF=PE=5，
∴F（-2，5）；
综上所述：以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形时，点F的坐标为：（-2，2$\sqrt{5}$）或F（-2，-2$\sqrt{5}$）或F（6，0）或F（-2，5）．

点评本题考查了二次函数综合性，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

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