Question

10．已知Rt△ABC（∠C=90°）是一块形状与大小均会发生变化的三角形纸板，在平面直角坐标系中，将△ABC按如图放置，AC∥x轴，点B在x轴上，反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象经过点A，与线段BC相交于点P，且A，P两点的横坐标分别为a，2a+2．
（1）若△ABC的面积为6，求a的值；
（2）随着a取值的不同，A，P两点的位置也不断变动，是否存在点P为BC中点的情况？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数的解析式得出点A、P的坐标，求出BC、AC，由△ABC的面积得出方程，解方程即可求出a的值；
（2）若点P为BC中点，根据点A、P的坐标得出方程，方程无解，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AC∥x轴，∠C=90°，
∴∠OBC=90°，
∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象经过点A，与线段BC相交于点P，且A，P两点的横坐标分别为a，2a+2．
∴点A（a，$\frac{4}{a}$），P（2a+2，$\frac{2}{a+1}$），
∴BC=$\frac{4}{a}$，AC=2a+2-a=a+2，
∵△ABC的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{a}$×（a+2）=6，
解得：a=1；
（2）不存在；理由如下：
∵A（a，$\frac{4}{a}$），P（2a+2，$\frac{2}{a+1}$），
若点P为BC中点，则$\frac{4}{a}$=2×$\frac{2}{a+1}$，此方程无解，
∴不存在点P为BC中点的情况．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了坐标与图形特征、直角三角形面积的计算、反比例函数解析式的运用以及解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键．