Question

等腰三角形底边和底边上的高之和等于其外接圆直径，则它的底边和底边上的高之比为（　　）

• A、1：2
• B、2：1
• C、1：4
• D、4：1

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心

专题：计算题

分析：如图，AB=AC，AD⊥BC，⊙O为△ABC的外接圆，设圆的半径为R，AD=x，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则AD垂直平分BC，根据垂径定理的推理得到
圆心O在直线AD上，连接OB，则BC+x=2R，所以BD=R-

1

2

x，在Rt△OBD中，根据勾股定理得到（R-x）²+（R-

1

2

x）²=R²，解得R=

1

2

x（舍去）或R=

5

2

x，
则BC=2R-x=4x，然后计算BC：AD即可．

解答：解：如图，AB=AC，AD⊥BC，⊙O为△ABC的外接圆，设圆的半径为R，AD=x，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴圆心O在直线AD上，
连接OB，
∵底边和底边上的高之和等于其外接圆直径，
∴BC+x=2R，
∴BD=R-

1

2

x，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（R-x）²+（R-

1

2

x）²=R²，
整理得4R²-12Rx+5x²=0，
解得R=

1

2

x（舍去）或R=

5

2

x，
∴BC=2R-x=4x，
∴BC：AD=4：1．
故选D．

点评：本题考查了三角形的外接圆和外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理．