Question

如图（1），BP、CP分别是△ABC的内、外角平分线．
（1）若∠A=60°，则∠P=

 

；
（2）如图（2），过B作直线MQ，交PC的延长线于Q，且使∠MBA=∠QBC．试讨论当∠A满足什么条件时，∠P＞∠Q；∠P=∠Q；∠P＜∠Q．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，再根据三角形外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，所以

1

2

（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=

1

2

∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=

1

2

∠A=30°．
（2）由于∠P=

1

2

∠A，∠P+∠Q=90°，代入∠P＞∠Q；∠P=∠Q；∠P＜∠Q．即可求得．

解答：解：（1）∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=

1

2

∠ABC+∠P，
∴∠P=

1

2

∠A=

1

2

×60°=30°．

（2）∵∠P=

1

2

∠A，
∴要使∠P＞∠Q，则

1

2

∠A＞∠Q，
∵∠ABP=∠CBP，∠MBA=∠QBC，
∴∠P+∠Q=90°，
∴

1

2

∠A+∠Q=90°，
∴∠Q=90°-

1

2

∠A，
∴

1

2

∠A＞90°-

1

2

∠A，即∠A＞90°，
∴要使∠P＞∠Q，∠A=90°，要使∠P＞∠Q，∠A＜90°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．