Question

9．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．
（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；
（2）如果∠BPD=135°，求证：CP²=CB•CD．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后证得△APD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（2）根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD，即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论．

解答 （1）证明：如图，∵PD∥BC，
∴∠PCB=∠CPD，
∵∠PCB=∠PCA，
∴∠CPD=∠PCA，
∴PD=CD，
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{BC}$，
∴AC•PD=AD•BC，
∴AC•CD=AD•BC；
（2）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，
∴∠PCB=∠PCA=45°，
∵∠B+45°+∠CPB=180°，
∴∠B+∠CPB=135°，
∵∠BPD=135°，
∴∠CPB+∠CPD=135°，
∴∠B=∠CPD，
∴△PCB∽△PDC，
∴$\frac{CB}{CP}$=$\frac{CP}{CD}$，
∴CP²=CB•CD．

点评 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．