Question

20．已知$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=1，且$\sqrt{a}$=m+$\frac{a-b}{2}$，$\sqrt{b}$=n-$\frac{a-b}{2}$，其中m、n均为有理数，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 由$\sqrt{a}$=m+$\frac{a-b}{2}$，$\sqrt{b}$=n-$\frac{a-b}{2}$，把a-b利用平方差公式因式分解，整理求得m、n，代入求得答案即可．

解答 解：∵$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=1，$\sqrt{a}$=m+$\frac{a-b}{2}$，$\sqrt{b}$=n-$\frac{a-b}{2}$，
∴m=$\sqrt{a}$-$\frac{a-b}{2}$=$\sqrt{a}$-$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{2}$=$\sqrt{a}$-$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$=$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
n=$\sqrt{b}$+$\frac{a-b}{2}$=$\sqrt{b}$+$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{2}$=$\sqrt{b}$+$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$=$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴m²+n²=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查二次根式的化简求值，利用平方差公式因式分解是解决问题的关键．