Question

10．已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE=1，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接CD，根据圆周角定理和等边三角形的性质得出BD=AD=OB，然后解直角三角形即可求得．

解答 解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵BC为直径，
∴CD⊥AB，
∴BD=AD=OB，
在直角△ADE中，
∠A=60°，
∴AD=2AE=2，
∴OB=AD=2，
∴BC=2OB=4，即⊙O的直径是4．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．