Question

18．如图，在菱形ABCD中，∠A=130°．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD，交DC的延长线于点P．则∠FPC=115°．

Answer 1

分析 延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPM的度数，即可求出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠GBF=∠PCF，
∵E，F分别是边AB和BC的中点，
∴BF=CF，AE=BE，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PE⊥CD，
∴∠BEP=∠EPC=∠EPM=90°，
延长PF交AB于点G，
在△BGF与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点，
又∵EP⊥CD，
∴∠BEP=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF=$\frac{1}{2}$PG（中点定义），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPM=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPM-∠EPF，即∠BEF=∠FPM，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=50°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∴∠FPM=65°，
∴∠FPC=180°-65°=115°，
故答案为：115°．

点评 此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的四条边相等．