Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当线段BE′和线段BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD=5，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=，则AF=4-=．再过G作GH∥BF，交BD于H，证明GH=GD，BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=-x，HD=5-x，由GH∥FB，得出=，即可求解．

解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=4，

∴BD=5，

在Rt△ABF中，∵∠A=90°，AB=3，AF=4-DF=4-BF，

∴BF2=32+（4-BF）2，

解得BF=，

∴AF=4-=．

过G作GH∥BF，交BD于H，

∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，

∵FB=FD，

∴∠FBD=∠FDB，

∴∠FDB=∠GHD，

∴GH=GD，

∵∠FBG=∠EBC=∠DBC=∠ADB=∠FBD，

又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，

∴BH=GH，

设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=-x，HD=5-x，

∵GH∥FB，

∴ =，即=，

解得x=．

故选：A．