Question

13．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上．且DE=BG，AF=CH，求证：（1）EF=GH；（2）EG和HF互相平分．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形知AD=BC、∠A=∠C，结合DE=BG知AE=CG，利用“SAS”证△EAF≌△GCH，可得EF=GH；
（2）与（1）同理可证△BFG≌△DHE得EH=FG，结合EF=GH可知四边形EFGH是平行四边形，据此可得答案．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵DE=BG，
∴AE=CG，
在△EAF和△GCH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AF=CH}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GCH（SAS），
∴EF=GH；

（2）如图，连接EH、GF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵CH=AF，
∴DH=BF，
在△BFG和△DHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=DH}\\{∠B=∠D}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DHE（SAS），
∴EH=FG，
又∵EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG和HF互相平分．

点评 本题主要考查平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．