Question

10．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别与x轴、y轴交于点A，B．当点P在线段AB（点P不与A，B重合）上运动时，在坐标系内存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形．请直接写出N点坐标（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：以OB为菱形OPBN的对角线，以PB为菱形OPBN的对角线，以OP为菱形BPNO的对角线，分别根据菱形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征进行计算，即可得到N点坐标．

解答 解：∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别与x轴、y轴交于点A，B，
∴A（8，0），B（0，6）．
分三种情况：
①如图所示，以OB为菱形OPBN的对角线，点P与点N关于OB对称，

由BP=OP可得，∠PBO=∠POB，
根据∠PBO+∠PAO=∠POB+∠POA=90°，可得∠POA=∠PAO，
∴PO=PA，
∴P是AB的中点，即P（4，3），
∴N（-4，3）；
②如图所示，以PB为菱形OPBN的对角线，设P（n，-$\frac{3}{4}$n+6），

∵四边形OPNB为菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=$\sqrt{{n}^{2}+（-\frac{3}{4}n+6）^{2}}$，
解得：n=$\frac{144}{25}$或n=0（舍去），
∴点P（$\frac{144}{25}$，$\frac{42}{25}$），
∴点N（$\frac{144}{25}$，6+$\frac{42}{25}$），即N（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）；
③如图所示，以OP为菱形BPNO的对角线，设P（m，-$\frac{3}{4}$m+6）

∵四边形ONPB为菱形，B（0，6），
∴BP=OB=6=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{3}{4}m+6-6）^{2}}$，
解得m=$\frac{24}{5}$，
∴P（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴N（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$-6），即N（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$），
综上所述，N点坐标为（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．
故答案为：（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的判定的运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，进行分类讨论．解题时注意菱形的四条边都相等．