Question

图1中，二次函数y=﹣ax²﹣4ax﹣的图象c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），过A点的直线交c于另一点C（x₁，y₁），交y轴于M．

（1）求点A的坐标，并求二次函数的解析式；

（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，﹣3）且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；

（3）设P（﹣1，2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x₂，y₂），连AE交y轴于N．OM•ON是否是一个定值？如果是定值，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由直线y=kx+3k求出点A坐标，代入抛物线解析式即可解决问题．

（2）分四种情形讨论①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD～△AOM，②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB～△OAM，③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB～△OAM，④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB～△OMA分别解直角三角形即可．

（3）求出直线PC的解析式，与抛物线组成方程组求出点E坐标，再求出直线AE后求出点N坐标，用k表示OM、ON即可解决问题．

【解答】（1）解：y=0，kx+3k=0解之得x=﹣3，所以A（﹣3，0），

因为A（﹣3，0）在y=﹣ax²﹣4ax﹣，所以0=﹣9a+12a﹣，

解之可得a=，

所以该二次函数的表达式y=﹣x²﹣x﹣，

（2）在Rt△AOM中，OA=3，OM=3tan∠OAM==，所以∠OAM=60°，

①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD∽△AOM，

在Rt△ABD中，BD=BA×sin60°=，

在Rt△BQD中，BD=OQ×sin30°=，解得BQ=2，

过Q作在QQ′⊥x轴垂足为Q′，

∵∠BAD=60°=∠BQA+∠QBA，∠BQD=30°，

∴∠QBQ′=30°，

在RT△BQQ′中，∵∠QBQ′=30°，BQ=2，

QQ′=，BQ′=3，

所以Q（﹣4，）．

②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB∽△OAM，此点Q（﹣3，0）．

③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB∽△OAM，

在△AQB中，∠BAQ=∠AQB=60°，

得BQ=AB=2，

所以Q（﹣2，﹣）．

④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM

设Q（﹣1，y）在直线y=﹣x﹣3﹣上，解得y=﹣2，

从而Q（﹣1，﹣2）．

综上所述，Q（﹣4，）或Q（﹣3，0）或Q（﹣2，﹣）或Q（﹣1，﹣2）．

（3）如图4中，直线y=kx+3k与二次函数y=﹣x²﹣x﹣图象的交点是A，C两点，

所以，整理可得+（k+1）x+（+3k）=0，

又因为A（﹣3，0），C（x₁，y₁），

所以x₁=﹣4k﹣1，y₁=﹣4k²+2k，

过点P（﹣1，2）与点C的直线：Y=x++2，

直线PC与抛物线的交点，，消去y整理得到：

x²+（1+）x+=0，

∴x₂+x₁=x₂+（﹣4k﹣1）=﹣，

∴x₂=﹣1﹣，y₂=，

∴直线AE为y=x+，

∴OM=﹣3k，ON=﹣，

∴OM•ON=（﹣3k）（﹣）=．

∴OM•ON是定值，这个定值是．

 

 

 

 

 

【点评】本题考查二次函数的有关知识、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，学会待定系数法确定函数解析式是解题的关键，学会用参数表示直线解析式、点的坐标，掌握分类讨论的思想，属于中考压轴题．