Question

16．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）算出A、B、C三点坐标，由待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）设出P点坐标，根据PE∥AB得出△CEP∽△CAB，利用面积比等于相似比的平方得出三角形CEP的面积表达式，再用m表示出三角形APC的面积，三角形APC的面积减去三角形CEP的面积就是三角形APE的面积，再利用配方法求面积最大值以及P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），
∴c=6，
∵抛物线的图象经过点点（-3，0）和（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+6}\\{0=36a+6a+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：$y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+x+6$，
（2）设点P的坐标为（m，0），

则PC=6-m，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AO=\frac{1}{2}×9×6=27$，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
$\frac{{S}_{△CEP}}{{S}_{△CAB}}=（\frac{PC}{BC}）^{2}$，即：$\frac{{S}_{△CEP}}{27}=（\frac{6-m}{9}）^{2}$，
∴${S}_{△CEP}=\frac{1}{3}（6-m）^{2}$，
∵${S}_{△APC}=\frac{1}{2}PC•AO=\frac{1}{2}（6-m）6$=3（6-m），
∴S_△APE=S_△APC-S_CEP=$3（6-m）-\frac{1}{3}（6-m）^{2}$=$-\frac{1}{3}（m-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{27}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S_△APE有最大值为$\frac{27}{4}$，此时，P（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、配方法求二次函数最值等知识点，难度不大，属中档题．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质表示出三角形CEP的面积是解答第二问的关键．