Question

4．如图，二次函数y=kx²-3kx-4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．
（1）求点A坐标和抛物线的解析式；
（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）只需令y=0就可求出点A、B的坐标，由OC=OA可得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）只需分∠ACP=90°或∠CAP=90°两种情况讨论，就可求出点P的坐标；
（3）易证四边形OEDF是矩形，则有EF=OD．要使EF最短，只需OD最短，只需OD⊥AC，由此可求出DF即y_Q，然后只需把y_Q代入抛物线的解析式就可解决问题．

解答 解：（1）当y=0时，kx²-3kx-4k=0
∵k≠0，∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4
∴B（-1，0），A（4，0），
∵OA=OC，
∴C（0，4）；
把x=0，y=4代入y=kx²-3kx-4k，
得k=-1，
则抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4；

（2）①当∠PCA=90°时，过点P作PM⊥y轴于M，如图1，

∴∠MCP+∠ACO=90°．
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCP=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP=∠OAC=45°，
∴∠MCP=∠MPC=45°，
∴MC=MP．
设P（m，-m²+3m+4），
则PM=CM=m，OM=-m²+3m+4，
∴m+4=-m²+3m+4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2，
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）；
②当∠PAC=90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，

则有PN∥x轴，
∴∠FPN=∠OAP．
∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴∠FPN=45°，AO=OF=4，
∴PN=NF，
设P（n，-n²+3n+4），
则PN=-n，ON=n²-3n-4，
∴-n+4=n²-3n-4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
即P（-2，-6）．
综上所述：点P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）当点Q的坐标是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）时，EF最短．
提示：如图3，

∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴EF=OD．
∴当线段EF的长度最短时，OD最小，
此时OD⊥AC．
∵OA=OC，
∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD．
∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，
∴$\frac{DF}{OC}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴y_Q=2，
解-x²+3x+4=2，得
x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
∴点Q的坐标是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．

点评 本题主要考查了抛物线上点的特征、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，利用矩形的对角线相等将EF转化为OD，是解决第（3）小题的关键．