Question

如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长．
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，根据含30°角直角三角形求出即可；
（3）根据折叠和已知求出∠P=∠PBF，根据平行线的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）直线PD为⊙O的切线，理由是：
如图1，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；

（2）解：∵BE为⊙O切线，
∴∠PBE=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△PDO中，∠PDO=90°，PD=3，
∴OD=PD×tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴PO=2OD=2

3

，
∴PA=PO-OA=2

3

-

3

=

3

；

（3）证明：如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，
∴DF⊥PB，
∵BE为切线，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四边形DFBE为平行四边形，
∵PE、BE为切线，
∴BE=DE，
∴四边形DFBE为菱形．

点评：本题考查了切线的性质和判定，菱形的判定，平行线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，本题是一道综合性的题目，是中档题，难度较大．