Question

如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到达点B后又继续在BC上前进，点Q到达点C后又继续在AC边上前进，经过几秒钟△PCQ的面积等于9cm²？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）分三种情况分类讨论后列出有关时间的一元二次方程求解即可确定答案．

解答：解：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8平方厘米，

1

2

（6-x）•2x=8
x=2或x=4．
经过2秒或4秒时面积为8平方厘米．

（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于9cm²．
①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图：（1）连接PC，
则CQ=8-2y，PB=6-y，
∵S_△PQC=

1

2

CQ×PB，
∴

1

2

×（8-2y）×（6-y）=9，
解得y₁=5+

10

＞4（不合题意，舍去），y₂=5-

10

；

②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图（2）
过点P作PM⊥AC，交AC于点M，
由题意可知CQ=2y-8，AP=y，
在直角三角形ABC中，sinA=

BC

AC

=

4

5

，
在直角三角形APM中，sinA=

PM

AP

，
即

PM

y

=

4

5

，
∴PM=

4

5

y，
∵S_△PCQ=

1

2

CQ×PM，
∴

1

2

×（2y-8）×

4

5

y=9，
解得y₁=2+

61

2

＞6（舍去），y₂=2-

61

2

＜0（负值舍去）；

③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3），
过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，
∵∠B=90°，
∴QD∥AB，
∴

QD

AB

，即

QD

6

=

2y-8

10

，
∴QD═

6y-24

5

，
∵S_△CQP=

1

2

×CP×QD，
∴

1

2

×（14-y）×

6y-24

5

=9
解得：y₁=3，y₂=10（不合题意，舍去）
答：当（5-

10

）秒或3秒后，△PCQ的面积等于12.6cm²

点评：本题考查了一元二次方程的应用，应注意应先表示出两直角三角形的面积所需要的边和高，然后分情况进行讨论．