Question

1．已知关于x的方程x²-（m+1）x+2（m-1）=0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=（m-3）²≥0，由此即可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为6，①当b=c时，根据根的判别式△=（m-3）²=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为6时，将x=6代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵在方程x²-（m+1）x+2（m-1）=0中，△=[-（m+1）]²-4×2（m-1）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个为6．
①当b=c时，△=（m-3）²=0，
解得：m=3，
∴原方程为x²-4x+4=0，
解得：b=c=2，
∵b+c=2+2=4＜6，
∴2、2、6不能构成三角形．
②当方程的一根为6时，将x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0，
解得：m=7，
∴原方程为x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∵6+2=8＞6，6+6=12＞2，
∴△ABC的三边长为：2、6、6，
∴C_△ABC=2+6+6=14．

点评 本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分b=c或b、c中有一个为6两种情况考虑是解题的关键．