Question

14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的外心，过点O作OD⊥AC，交AC于点D，连接BO，过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BO=7，OD=3，则cos∠BAE的值为$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

Answer 1

分析 连接OA、OC，则OA=OC=OA=7，由OD⊥AC，得出∠AOD=∠COD，由勾股定理求出AD，由圆周角定理得出∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOD，得出cos∠BAE=cos∠AOD，即可求出结果．

解答 解：连接OA、OC，如图所示：
则OA=OC=OA=7，
∵OD⊥AC，
∴∠AOD=∠COD，AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOD，
∴cos∠BAE=cos∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数；熟练掌握圆周角定理，由圆周角定理得出∠ABC=∠AOD是解题的关键．