Question

4．如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点C在OA上且OC=1，连接BC．一动点P从点A出发，沿折线A→B→O的方向向终点O运动，记点P移动的路程为m．
（1）当点P在线段AB上运动时，连接OP，求满足△BPO≌△OCB的m值；
（2）连接PC，求△OPC的面积s关于m的函数表达式；
（3）如图2，过点P作边AB的垂线l，并以直线l为对称轴，作线段AC的对称线段A₁C₁．请写出在点P的运动过程中，线段A₁C₁与y轴有交点时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性质可知BP=OC，由m=AB-PB求解即可；
（2）过点P作PD⊥OA，垂足为D，三角形OPC的面积S=$\frac{1}{2}$OC•DP，然后分为点P在AB和OB上两种情况求得PD的长，从而得到S与m的函数关系式；
（3）求得点A′或点C′恰好在y轴上时m的值，从而可确定出m的范围．

解答 解：（1）∵△BPO≌△OCB，
∴BP=OC=1．
∴m=AB-BP=3-1=2．
（2）①如图1所示：当点P在AB上运动时，过点P作PD⊥OA．

∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，
∴∠APD=30°．
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
∴S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$m；
②如图2所示：当点P在OB上时，过点P作PD⊥OA．

∵OP=AB+OB-m=6-m，
∴PD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（6-m），
∴S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（6-m）=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（6-m）．
综上所述，S与m的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}m（0＜m≤3）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}（6-m）（3＜m＜6）}\end{array}\right.$．
（3）如图3所示：当点C的对应点C′落在y轴上时．

由翻折的性质可知：CC′⊥PE，DC=DC′，
又∵PE⊥AB，
∴DC∥PA．
∴∠C′CO=∠A=60°．
∴∠CC′O=30°．
∴CC′=2OC=2．
∴DC=1．
∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，
∴∠DEC=30°．
∴EC=2DC=2．
∴EC=CA．
∵DC∥AB，
∴$\frac{DC}{AP}=\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{2}$．
∴AP=2．即m=2．
如图4所示：当点A的对称点A′在y轴上时．

∵点A与点A′关于直线PD对称，
∴PA=PA′．
∵∠A=60°，∠AOA′=90°，
∴∠AA′O=30°．
∴AA′=2OA=6．
∴PA=3．
∴点B与点P重合，此时m=3．
如图5所示：当点P在OB上，点C′在y轴上．

∵∠PCO=60°，∠POC=60°，
∴△OPC为等边三角形．
∴PO=OC=1．
∴PB=2．
∴m=PB+AB=5．
∴线段A₁C₁与y轴有交点时m的取值范围是2≤m≤5．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、翻折的性质，三角形的面积公式，求得点A′和点C′恰好在y轴上时m的值是解题的关键．