Question

抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于C（0，-3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使∠AMC=∠MCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可；
（2）首先求出l_CD：y=-x-3，l_AM：y=-x-1进而得出，当y=x²-2x-3=-x-1时，AM∥CD，求出M点坐标即可；
（3）①若∠BNC=90°，则BC²=BN²+NC²，②若∠NBC=90°，则NC²=BN²+BC²，③若∠NCB=90°，则BN²=NC²+BC²，分别求出N点坐标即可．

解答：解：（1）抛物线y=x²+bx+c过（-1，0）（0，-3）
∴

1-b+c=0 c=-3

解得：

b=-2 c=-3

∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在．
如图1，当AM∥CD时，∠AMC=∠MCD，
由（1）可得抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴D（1，-4）
设直线CD为：y=kx-3过D（1，-4）
∴l_CD：y=-x-3
设直线AM为：y=-x+b过A（-1，0）
∴l_AM：y=-x-1
当y=x²-2x-3=-x-1时，AM∥CD，
∴x₁=-1（舍），x₂=2，
∴y=2²-2×2-3=-3，
∴M（2，-3）；

（3）设N（1，n），则BN=

4+n2

，NC=

1+(-3-n)2

，BC=3

2

，
①如图2，若∠BNC=90°，则BC²=BN²+NC²，即18=4+n²+1+9+6n+n²
∴n²+3n-2=0，
∴解得：n=

-3± 17

2

∴N（1，

-3+ 17

2

）或N（1，

-3- 17

2

），
②若∠NBC=90°，则NC²=BN²+BC²，即1+9+6n+n²=4+n²+18
∴6n=12，
∴n=2
∴N（1，2），
③若∠NCB=90°，则BN²=NC²+BC²，即1+9+6n+n²+18=4+n²
∴6n=-24，
∴n=-4
∴N（1，-4），
综上，当N（1，

-3+ 17

2

）或N（1，

-3- 17

2

）或N（1，2）或N（1，-4）时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键．